کتاب بهرام

وقتی برای اولین‌بار می‌شنویم چیزی «بی‌نهایت» است، معمولاً تصور می‌کنیم دیگر نمی‌شود درباره‌ی تعدادش حرف زد.
اما ریاضیات حرف عجیبی برای گفتن دارد:

بعضی بی‌نهایت‌ها قابل شمارش‌اند.

این جمله در نگاه اول متناقض به نظر می‌رسد، ولی کاملاً دقیق و رسمی است.

شمارش یعنی چه؟

قبل از هر چیز، باید «شمارش» را دقیق تعریف کنیم.

در ریاضی، شمارش به این معنا نیست که:

• بنشینیم و دانه‌دانه بشماریم تا تمام شود (که خب هیچ‌وقت تمام نمی‌شود)

بلکه یعنی:

آیا می‌توان اعضای یک مجموعه را با اعداد طبیعی
1، 2، 3، 4، …
جفت کرد؟

اگر پاسخ «بله» باشد، آن مجموعه قابل شمارش (شمارا) است.

تعریف رسمی (ولی قابل فهم)

یک مجموعه بی‌نهایت شمارا است اگر بتوان:

• به هر عضو آن

• دقیقاً یک عدد طبیعی نسبت داد

• طوری که هیچ عضوی جا نماند و هیچ عددی دوبار استفاده نشود

این رابطه را «تناظر یک‌به‌یک» می‌نامند.

ساده‌ترین مثال: اعداد طبیعی

اعداد طبیعی خودشان معیار شمارش‌اند:

1 → 1
2 → 2
3 → 3
4 → 4
…

بدیهی است که:

• این مجموعه پایانی ندارد

• ولی کاملاً قابل شمارش است

پس:

اعداد طبیعی، بی‌نهایت و شمارا هستند.

مثال شگفت‌انگیز: اعداد زوج

حالا به یک مثال عجیب‌تر برسیم.

اعداد زوج:
2، 4، 6، 8، 10، …

به‌نظر می‌رسد:

• اعداد زوج «کمتر» از اعداد طبیعی‌اند

• چون نصف آن‌ها را تشکیل می‌دهند

اما ببینیم آیا می‌شود آن‌ها را شمرد؟

نگاشت ساده:

• 1 → 2

• 2 → 4

• 3 → 6

• 4 → 8

برای هر عدد طبیعی، دقیقاً یک عدد زوج داریم.

نتیجه:

اعداد زوج هم بی‌نهایت و هم قابل شمارش هستند.

و از نظر ریاضی:

اندازه‌ی مجموعه‌ی اعداد زوج
با اندازه‌ی مجموعه‌ی اعداد طبیعی برابر است.

اعداد صحیح چطور؟

اعداد صحیح شامل:
… −3، −2، −1، 0، 1، 2، 3، …

در نگاه اول، این مجموعه حتی بزرگ‌تر به نظر می‌رسد.
اما باز هم می‌توان آن را شمرد:

مثلاً:
1 → 0
2 → 1
3 → −1
4 → 2
5 → −2
6 → 3
7 → −3
…

پس:

مجموعه‌ی اعداد صحیح نیز بی‌نهایت شماراست.

حتی کسرها هم شمارا هستند!

این قسمت معمولاً بیشترین شگفتی را ایجاد می‌کند.

اعداد گویا (کسرها):
1/2 ، 3/7 ، 22/5 ، −4/9 ، …

بین هر دو عدد صحیح:

• بی‌نهایت کسر وجود دارد

اما با وجود این «تراکم»، ثابت شده که:

کل مجموعه‌ی اعداد گویا هم قابل شمارش است.

یعنی:

• می‌توان همه‌ی کسرها را در یک فهرست بی‌نهایت جا داد

• بدون آن‌که عددی جا بماند

(جزئیات این کار فنی‌تر است، ولی اصل نتیجه مهم است.)

شهود مهم: شمارا یعنی «فهرست‌پذیر»

یک راه شهودی برای فهم بی‌نهایت شمارا این است:

اگر بتوانی در ذهن بگویی:

• این اولی

• این دومی

• این سومی

• …

حتی اگر این فهرست هرگز تمام نشود،
آن مجموعه شماراست.

نکته‌ی کلیدی (خیلی مهم)

قابل شمارش بودن به این معنا نیست که:

• عناصر کم‌اند

• یا فاصله‌شان زیاد است

بلکه فقط یعنی:

ساختار مجموعه آن‌قدر «منظم» هست
که بتوان آن را با اعداد طبیعی هم‌ردیف کرد.

جمع‌بندی

• بی‌نهایت شمارا یعنی بی‌نهایتی که بتوان آن را فهرست کرد

• اعداد طبیعی، زوج، صحیح و گویا همگی شمارا هستند

• در دنیای بی‌نهایت:

  • «زیرمجموعه بودن» لزوماً به معنای «کوچک‌تر بودن» نیست

• شهود روزمره‌ی ما اینجا از کار می‌افتد

و این تازه آغاز ماجراست…

در مطلب بعدی می‌بینیم:

بی‌نهایت‌هایی وجود دارند که اصلاً قابل شمارش نیستند
حتی در بازه‌ای به کوچکی 0 تا 1.