کتاب بهرام

معادلات مکسول (Maxwell's Equations) چهار معادله اصلی در فیزیک هستند که قوانین پایه‌ای الکترومغناطیس را بیان می‌کنند. این معادلات که به نام جیمز کلرک مکسول (James Clerk Maxwell) نام‌گذاری شده‌اند، به‌طور کامل رفتار و تعاملات میدان‌های الکتریکی و مغناطیسی را توضیح می‌دهند و اساس بسیاری از فناوری‌های مدرن، از جمله ارتباطات رادیویی، لیزرها، و بسیاری از دستگاه‌های الکترونیکی را تشکیل می‌دهند.

مقدمه

در قرن 19 میلادی، فیزیک‌دانان دریافتند که میدان‌های الکتریکی و مغناطیسی به‌طور عمیقی به هم مرتبط‌اند. اما این ارتباط تا زمانی که مکسول معادلات خود را ارائه نداد، به‌طور کامل درک نشده بود. معادلات مکسول، هم‌چنین نشان می‌دهند که نور، که خود یک نوع موج الکترومغناطیسی است، چگونه از میدان‌های الکتریکی و مغناطیسی تشکیل می‌شود.

این معادلات در ابتدا از تعدادی قانون تجربی جداگانه (قانون گاؤس برای الکتریسیته و مغناطیس، قانون فارادی، و قانون آمپر) استخراج شده‌اند و سپس مکسول آن‌ها را به صورت یک سیستم معادلات منسجم و متحد گردآوری کرد.

معادلات مکسول به صورت ریاضی

معادلات مکسول در چهار شکل اصلی بیان می‌شوند که شامل میدان‌های الکتریکی (E) و مغناطیسی (B) هستند. این معادلات به دو صورت می‌توانند نوشته شوند:

1. شکل دیفرانسیلی: در این شکل، معادلات مشتقات جزئی از میدان‌ها را نسبت به زمان و فضا بیان می‌کنند.

2. شکل انتگرالی: این شکل معادلات به‌صورت انتگرال در فضای سه‌بعدی نوشته می‌شوند و قوانین عمومی‌تری از میدان‌ها را ارائه می‌دهند.

1. قانون گاؤس برای الکتریسیته (Gauss's Law for Electricity)

این قانون بیان می‌کند که توزیع بار الکتریکی در یک حجم، میدان الکتریکی ایجاد می‌کند.

• شکل انتگرالی:

  ∮∂⋅=enc0∮∂V​E⋅dA=ϵ0​Qenc​​

  که در آن:

  • E میدان الکتریکی است.
  • dA بردار سطحی است که جهت آن عمود بر سطح است.
  • encQenc​ بار الکتریکی محصور در سطح است.
  • 0ϵ0​ ثابت دی‌الکتریک خلأ است.

• شکل دیفرانسیلی:

  ∇⋅=0∇⋅E=ϵ0​ρ​

  که ρ چگالی بار الکتریکی است.

2. قانون گاؤس برای مغناطیس (Gauss's Law for Magnetism)

این قانون بیان می‌کند که هیچ‌گونه "بار مغناطیسی" (مغناطیس‌های تک‌قطبی) وجود ندارد و خطوط میدان مغناطیسی همیشه به‌طور کامل در فضا بسته هستند.

• شکل انتگرالی:

  ∮∂⋅=0∮∂V​B⋅dA=0

  که در آن:

  • B میدان مغناطیسی است.

• شکل دیفرانسیلی:

  ∇⋅=0∇⋅B=0

3. قانون فارادی برای القای الکترومغناطیسی (Faraday's Law of Induction)

این قانون توضیح می‌دهد که تغییرات میدان مغناطیسی در زمان می‌تواند یک میدان الکتریکی القا کند.

• شکل انتگرالی:

  ∮∂⋅=−∫⋅∮∂C​E⋅dl=−dtd​∫S​B⋅dA

  که در آن:

  • E میدان الکتریکی است.
  • B میدان مغناطیسی است.
  • dl عنصر خطی بر روی مسیر انتگرالی است.

• شکل دیفرانسیلی:

  ∇×=−∂∂∇×E=−∂t∂B​

4. قانون آمپر (با اصلاح ماکسول) (Ampère's Law with Maxwell's Addition)

این قانون بیان می‌کند که جریان الکتریکی و تغییرات میدان الکتریکی می‌توانند میدان مغناطیسی تولید کنند.

• شکل انتگرالی:

  ∮∂⋅=0(enc+0∫⋅)∮∂C​B⋅dl=μ0​(Ienc​+ϵ0​dtd​∫S​E⋅dA)

  که در آن:

  • encIenc​ جریان الکتریکی محصور در سطح است.
  • 0μ0​ ثابت نفوذپذیری مغناطیسی خلأ است.

• شکل دیفرانسیلی:

  ∇×=0+00∂∂∇×B=μ0​J+μ0​ϵ0​∂t∂E​

  که J چگالی جریان الکتریکی است.

تفسیر فیزیکی معادلات مکسول

معادلات مکسول نه‌تنها رفتار میدان‌های الکتریکی و مغناطیسی را توصیف می‌کنند، بلکه نشان می‌دهند که این میدان‌ها می‌توانند به‌طور متقابل یکدیگر را تحت تأثیر قرار دهند. به عبارت دیگر، تغییرات در میدان الکتریکی می‌تواند موجب تولید میدان مغناطیسی شود و تغییرات در میدان مغناطیسی می‌تواند موجب تولید میدان الکتریکی شود.

این رفتار متقابل زمینه‌ساز ظهور امواج الکترومغناطیسی است که با سرعت نور حرکت می‌کنند. این امواج در حقیقت ترکیبی از میدان‌های الکتریکی و مغناطیسی هستند که به‌طور متناوب از یکدیگر تغذیه می‌شوند و در فضا منتشر می‌شوند.

نتیجه‌گیری

معادلات مکسول اساس بسیاری از پدیده‌های الکترومغناطیسی، از جمله نور، امواج رادیویی، اشعه ایکس، و بسیاری دیگر از انواع تابش‌ها را توضیح می‌دهند. این معادلات نه‌تنها یکپارچگی عمیقی بین الکتریسیته و مغناطیس ایجاد کردند، بلکه نشان دادند که نور در واقع نوعی موج الکترومغناطیسی است. در نتیجه، این معادلات به‌عنوان یکی از مهم‌ترین دستاوردهای فیزیک کلاسیک به شمار می‌روند و تأثیرات شگرفی در زمینه‌های مختلف علمی و فناوری داشته‌اند.